피드백 회로의 불안정성 문제와 바크하우젠 조건을 알아보자

이 글은 피드백 챕터의 9번째 진도이면서 주파수 안정 및 보상의 첫번째 진도입니다.

(위상에 대한 내용을 잘 모르시는 분들은 아래 링크를 통해 지식을 얻고 오시길 바랍니다)

 

2022.01.19 - [전공(Major)/전자회로와 아날로그 회로설계] - 보데의 법칙을 통해 회로의 전달함수H(s), 극점(pole), 영점(zero), 위상(Phase)을 알아보자

보데의 법칙을 통해 회로의 전달함수H(s), 극점(pole), 영점(zero), 위상(Phase)을 알아보자

 

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불안정성 문제

(Problem of instability)

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이전 피드백에서는 낮은 주파수 대역에서 해석을 하였다. 주파수가 올라감으로써 생기는 문제들을 알아보도록 한다.

 

전달 함수H(s)를 갖는 순방향 증폭기와 피드백 네트워크를 가지는 부귀환 회로가 있다고 생각한다.

K는 이전 진도에서도 다루었듯이 저항 분배기와 같은 것으로 구성되어 주파수 함수에 의존하지 않는다고 가정한다.

 

그림 1. 네거티브 피드백 시스템

 

따라서 이전에 다룬 폐루프 이득은 아래 식 1과 같이 쓸 수 있다.

 

식 1

 

여기서 X(s)는 시간 영역(Time-domain)의 입력 x(t)는 정현파 입력(Acoswt)이다. 따라서 관심 주파수에서 s=jw 를 대입할 수 있음을 알 수 있다.

 

여기서 KH(s)는 루프 전송(Loop Transmission)이라 부르게 되는데 이는 주파수 종속성(Frequnecy dependence)를 강조하기 위해 부르기도 한다

(루프 이득이라 불러도 무방함)

 

"발진(oscillation)" 이라는 현상을 알기 위해 어떤 주파수 ω1에서 루프 전송(루프 이득)이 -1인 경우를 생각해보자

 

식 2

 

식 2를 통해 폐루프 시스템(Closed-Loop system)은 무한대의 이득을 가지게 된다. 

자 의문점을 하나 만들어 보자

 

Q1 : 이득이 무한대면 좋은게 아닌가?

 

Answer 

 

아날로그 회로설계라는 과목(상급 교재)에서 회로의 잡음에 대해서 배우겠지만 MOSFET, BJT, 저항과 같은 소자는 잡음을 가지게 된다.

 

어떤 주파수 ω1에서 잡음 성분으로 인해 폐루프 이득이 무한대로 커지고 출력에서 큰 정현파가 발생한다.

발진기가 아닌 어떤 입력 신호를 받고 출력 신호를 보내는 회로라면 좋지 못한 설계가 될 수 있다.

따라서 위 질문 Q1과 같이 해당 시스템은 ω1에서 발진한다고 말한다.

 

아래에서 자세히 설명하겠지만 발진을 하기 위한 조건은 ω1에서 위상이 -180°의 위상 시프트를 가지고 루프 전송(또는 루프 이득)이 1일 때 발진하게 된다. (바르크하우젠 조건, Barkhausen`s criteria)

 

조금 더 자세히 알기 위해 1개의 극점부터 3개의 극점을 가지는 가지는 증폭기의 크기와 위상을 알아보자

 

단일 극점 시스템(One-Pole System)

 

단일 극점을 가지는 증폭기의 크기와 위상은 아래와 같다.

 

그림 2. 단일 극점을 가지는 증폭기의 출력

 

이득이 1일 때(0 dB) -90 도의 위상 시프트(Phase Shift, 위상 천이)를 가진다.

 

이중 극점 시스템(Two-Pole System)

이중 극점을 가지는 시스템은 아래와 같다.

 

그림 3. 이중 극점을 가지는 시스템

 

이중 극점을 가지는 시스템에서는 두 개의 극점을 지나기 때문에 -180°에 도달한 것 처럼 보이지만 이는 주파수가 무한대에서 도달함을 알 수 있고 이는 0의 이득을 가지기 때문에 발진할 수 없다. 따라서 극점이 3개 일 때 발진함을 알 수 있다.

 

삼중 극점 시스템(Three-Pole System)과 바르크하우젠 조건

 

삼중 극점을 가지는 시스템은 아래와 같다.

 

그림 4. 삼중 극점을 가지는 시스템

 

그림 4에서 이득이 1보다 크고 ω1에서 출력이 반대의 정현파 신호(-180° 위상 시프트)가 나오는 것을 알 수 있다.

이제 시간 영역에서의 피드백 시스템을 통해 "발진"을 알아보고, 바르크하우젠 조건에 대해 정리해보도록 하자.

 

그림 5를 보면 발진에 대해 직관적으로 알 수 있다.

 

그림 5. 발진 시스템의 시간에 따른 전개

 

ω1에서 정현파 입력 신호가 인가되면(1) 출력에서 반대의 위상을 가지는 정현파 출력 신호가 나온다(2) 이는 다시 피드백 네트워크를 통해 입력으로 "뺄셈"입력이 되며(에러 신호)(3) 두 신호의 차가 아닌 두 신호의 합으로 나온 정현파 입력 신호가 전달 함수를 가지는 순방향 시스템에 입력이 된다(4). 마지막으로 출력은 다시 반대의 위상을 가지는 정혀파 출력 신호가 나온다(5). (1) - (5)의 과정은 계속 반복된다.

 

3개의 극점을 포함하는 피드백은 ω1에서 정귀환(Positive Feedback)이 되며 이에따라 입력을 높이는 귀환 신호를 만든다.

(발진기 파트에서 언급하겠지만 신호의 최종 크기는 "포화"되기 때문에 제한을 받음)

 

자 다시 바르크 하우젠 조건을 다시 정리해보면 아래와 같다.

 

식 3(상단), 식 4(하단)

 

식 4는 피드백이 정귀환이 되게 하고, 식 3은 순환하는 신호가 커지도록 충분한 루프 이득을 보장한다.

 

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조금 더 심화된 내용 (생략 가능)

 

1-Stage CS Amp를 통해 Unity Gain Frequency(UGF)를 알아보기

 

UGF란 무엇일까? 이전에 다루었던 ω1과 같은 주파수 즉 이득이 1이 되는 지점을 말하게 된다.

그림 6에서 단일 극점 시스템의 좋은 예인 CS amp를 보여준다.

 

그림 6. 단일 증폭기의 UGF

 

그림 6에서의 식은 저주파 이득과 극점(ωp1)의 곱으로 표현된다.

 

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2022.01.12 - [전공(Major)/전자회로 2 과정] - 전자회로 2 커리큘럼

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