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고등 수학/확률과 통계 개인학습 노트

확률 실험 - 2주차 정리

by 배고픈 대학원생 2021. 9. 11.
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참조 문헌
1. Probability and Statistics for Engineers and Scientists , Walpole, Myers, Myers and Ye
2. Statistics for Management and Economics, Keller

확률 실험(Random Experiment)


 

실험의 결과를 예측할 수가 없고 , 동일한 조건으로 실험을 반복하더라도 그 실험의 결과가 임의의 형태로 나타나는 특징을 갖는 실험이다.

 

흔한 예로써 동전 던지기, 주사위 굴리기, 키와 무게 측정이 있다.

 


표본 공간(Sample Space)


 

확률실험을 할 때 모든 발생 가능한 결과들의 집합이며 주로 대문자 "S"로 표기한다. 위에서 언급한 동전 던지기, 주사위, 키 측정 확률 실험에 대해 표본공간 S는 사진 1로 표기한다.

 

사진 1. 확률 실험에서 언급한 예의 표본공간

 


사상(또는 사건, Event)


 

확률실험에서 관심이 있는 실험 결과들만의 집합이며 상들은 표본공간의 부분 집합이다. 표기법으로는 대문자 알파벳(예 : A, B, C)로 표기를 한다.

 


사건에 대한 예 -> 이 예시 확률 실험 종료까지 계속 쓰이는 예시이니 꼼꼼히 확인해보도록 한다.

 

주사위 굴리기 확률 실험

 

표본공간(S) = {1, 2, 3, 4, 5, 6}에서 아래와 같은 사건을 말할 수 있다.

 

결과가 짝수인 사건 A={2, 4, 6}

결과가 홀수인 사건 B={1, 3, 5}

결과가 4 이상인 사건 C={4, 5, 6}

 

중괄호 안에 적힌 숫자들은 표본공간(S)의 일부임을 알 수 있다.

 


특별 사건(또는 사상)

 

특별 사건에는 아래 표와 같이 집합으로 표현이 가능하다.

특별 사건 합집합 교집합 여집합

 

1. 합집합

 

사상 A 와 B 의 합집합 (A∪B)

 

U = union
사상 A 또는 사상 B 에 속하는 원소들의 집합
이때 A 에도 있고 B 에도 있는 원소는 한 번만 적음

 

2. 교집합

 

사상 A 와 B 의 교집합 (A∩B)

 

A Interaction B ... A and B 라고도 표기하며 간단하게 표현하기 위해 AB 라고도 표기한다.
A 에도 있고 B 에도 있는 원소들만의 집합

 

공집합

Ø(파이) 로 표기
공집합은 원소가 없는 집합
공집합과 {0} 은 다르므로 반드시 구분할 수 있어야 한다.

 

3. 여집합

 

사건 C 의 여집합 (C')

표본공간에서 사상 C 의 원소만 제외한 원소들의 집합 위 예제에서 C의 여집합은 아래와 같다.

 

C'={1,2,3,}


위의 예제처럼 여러개의 사건이 있을 때 그 사건들의 어떤 관계가 있는지에 대해서 상호 배타관계, 포괄 관계가 있는지 알아보도록 한다.

 

상호 베타(Mutually Exclusive)관계

 

교집합이 공집합이 되면 이 두 집합은 상호베타 관계라고 표현이 가능하다. (위의 예시를 기반으로 설명한 것)

A∩B ="Ø 이며 상호베타관계

상호간의, 서로(Mutually) : 관계를 이루는 둘 이상의 대상 사이에서 각각 그 상대에 대하여. 또는 쌍방이 번갈아가서

베타적인(Exclusive) : 남을 배척하는 것, 남을 배척하는

만약 하나의 사상이 다른 사건의 발생 확률을 거부하는 식으로 사건들이 서로 관련 된다면, 그 사건들은 상호 베타적이라고 말할 수 있다

 

상호포괄(Collectively Exhaustive) 관계

 

A 와 B 의 합집합이 표본공간이 되면 상호포괄관계

A∪B=S 이며 상호포괄관계 (위의 예시를 기반으로 설명한 것)

 

(하나도 빠뜨리는 것 없이) 철저한[완전한] (Exhaustive)

 

분할(Partition)

 

여러 개의 사건이 상호배반관계와 동시에 상호포괄관계를 갖는 경우

 

위의 예시를 통해 알 수 있는 사실은 사건 A와 B는 표본 공간(S)를 분할한다.

 


이해를 돕기 위한 문제 1

 

표본공간 S = {0,1,2,3,4,5.6.7.8.9}, 각각의 사건은 아래와 같다.

A = {0.2,4,6,8,9}
B = {1,3.5.7.9}
C = {1.2.3.4.5}
D = (6,7,8,9}

 

(1) A∪D = {0.2,4,6,7,8,9}
(2) B∩C = {1, 3, 5}
(3) A∩B = {9}
(4) C' = {0, 6, 7, 8, 9}

 


감사의 글

 
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다음 진도

 

2021.09.11 - [고등 수학/확률과 통계] - 확률의 정의 - 2주차 정리

 

확률의 정의 - 2주차 정리

참조 문헌 1. Probability and Statistics for Engineers and Scientists , Walpole, Myers, Myers and Ye 2. Statistics for Management and Economics, Keller 이 포스팅은 기존의 확률 실험과 이어진 내용입니..

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