확률의 정의 - 2주차 정리

참조 문헌
1. Probability and Statistics for Engineers and Scientists , Walpole, Myers, Myers and Ye
2. Statistics for Management and Economics, Keller

---

이 포스팅은 기존의 확률 실험과 이어진 내용입니다. 이전 포스팅에서 제시된 예제가 이어지니 참고하시기 바랍니다.

 

2021.09.11 - [고등 수학/확률과 통계] - 확률 실험 - 2주차 정리

확률 실험 - 2주차 정리

 

---

확률의 정의에는

1. 고전적 확률
2. 경험적 확률

이 두가지가 있다 일반적으로 고전적 확률을 많이 쓴다.

사건의 확률을 구하기 위해 파악해야 할 것

1. 표본공간에는 원소가 몇 개 있는가

2. 우리가 관심이 있는 사상에는 원소가 몇 개 있는가

 

 

---

고전적 확률의 정의

 

사상(또는 사건 event)가 발생할 확률은 사건 A의 원소 개수를 표본공간의 원소로 나뉘어진 값이다.

식 1. 고전적 확률의 정의

 

사건 A가 발생했다하면 확률 실험의 결과가 A의 원소이면 사건 A가 발생했다고 한다.

 

경험적 확률의 정의

 

n 번의 확률실험을 했을 때 사건(or 사상) A 가 발생하는 확률 즉 실행 횟수분의 그 사건이 발생한 횟수를 나타낸다.

 

식2. 경험적 확률의 정의

 

식 2에서 n(A)는 사건 A의 발생 횟수이다.

그래서 경험적 확률은 실제로 일어나는 결과들을 무한 반복했을 때의 횟수를 비율로 정의.

 

 

---

이해를 돕기 위한 예제 1.

 

두 개의 주사위를 동시에 굴렸을 때 , 나타나는 숫자의 합이 9가 될 확률은 얼마인가(주사위 수의 범위는 1-6까지)

 

주사위 2개의 표본 공간은

S={(1, 1), (1, 2) ... (6, 6,)} ... 36개의 원소

9가 될 확률은

(3, 6) (4, 5,) (5, 4) (6, 3)

 

따라서 P(합이 9) = n(A)/n(S)=4/36=1/9

---

순열(Permutation)

 

n 개의 원소 중에서 우리가 r 개의 원소를 선택해서 순서를 고려 하여 나열하는 경우에 출현 가능한 결과의 수를 찾아낼 때 사용하는 방법

식 3. 순열

 

순열에서는 순서를 고려하는 점이 중요하니 계산을 할 때 유의하도록 한다.

 

 

조합(Combination)

 

n개의 원소 중에서 우리가 r개의 원소를 선택해서 순서에 관계없이 나열하는 경우에 출현 가능한 결과의 수를 찾아낼 때 사용하는 방법이다.

 

식 4. 조합

 

식 4를 통해 알 수 있는 것은 r!의 영향으로 인해 조합은 순열보다 낮은 값이 나오게 된다.

---

합집합과 교집합의 확률

 

1. A와 B의 합집합이 발생하는 확률

 

𝑃(𝐴∪𝐵)=𝑃(𝐴)+𝑃(𝐵)−𝑃(𝐴∩𝐵) / 교집합에 있는 부분은 2번 계산이 되니 교집합 부분을 없애줘야한다.

 

2. 만약 A 와 B 가 상호배반이라면 확률은 0이다. / 원소가 없기 때문에

 

𝑃(𝐴∪𝐵)=𝑃(𝐴)+𝑃(𝐵)

 

 

 

확률의 공리(axioms of probability)

확률의 공리는 표본공간(S)이 정의되고 , 임의의 사건 A 가 있을 때를 말한다.

1. 𝟎≤𝑷(𝑨)≤𝟏

사건 A 가 발생할 확률은 반드시 0 과 1 사이이며 가장 작은 사상은 공집합이다. 마지막으로 가장 큰 사상은 표본공간 ‣ 사상 A 는 공집합과 표본공간의 그 중간에 있기 때문이다.

2. 𝑷(𝑺)=𝟏 

표본공간이 발생할 확률은 1 이라는 의미 = 표본공간은 항상 발생하며 확률실험을 하면 결과가 발생하고 그 결과는 표본공간의 원소이기 때문이다. P(S)=1 인 경우 공집합이 발생할 확률은 0.

3. 만약 사상 𝐴1, 𝐴2등이 서로 상호배타면(𝑃(𝐴1∪𝐴2∪⋅⋅⋅)=𝑃(𝐴1)+𝑃(𝐴2)+⋅⋅⋅)

사상들이 상호배반이면 교집합은 0, 합집합에 대한 확률은 각 사상의 확률의 합