확률 변수, 이산형 확률 변수, 연속형 확률 변수 - 3주차 정리

참조 문헌
1. Probability and Statistics for Engineers and Scientists , Walpole, Myers, Myers and Ye
2. Statistics for Management and Economics, Keller

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확률변수(random variable)

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확률 실험의 발생 가능한 결과에 하나의 값을 배정하는 함수이다.

- 주로 확률변수는 영어 대문자 X,Y,Z 등을 사용함
- 모든 확률변수는 고유한 확률분포를 따름

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이해를 돕기 위한 예시

 

동전 1개를 3회 던지는 실험

 

동전의 앞면을 H, 뒷면을 T라고 가정했을 때

 

{HHH}{HHT}{HTH}{THH}{HTT}{THT}{TTH}{TTT} 이렇게 8개가 나온다.

 

확률 변수의 경우는 각각의 결과들을 숫자로 변환을 시켜야 한다.

 

만약 문제에서 확률변수 "X" = 각 실험의 결과가 갖는 T의 수라고 하였을 때 

 

{HHT}{HTH}{THH} 는 1 / X=1

{HTT}{THT}{TTH} 는 2 / X=2

{TTT} 는 3 / X=3

{HHH}는 0 / X=0 이 나오게 된다.

 

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이산형, 연속형 확률변수를 알아가기 위해서는 집합의 종류에 대해 알아야 합니다.

 

 

집합의 종류

 

유한 집합 : 원소의 수가 유한한 경우 (예 {0, 1, 2, 3})

 

셀 수 있는 무한집합 : 원소의 수가 무한 개이지만 셀 수 있는 경우 (예 : 1, 2, 3 ...)

 

셀 수 없는 무한집합 : 원소의 수가 무한이며 셀 수 없는 경우 ( 155.5 <X<180.2 .. 소수점까지 생각하면 셀 수 없음)

 

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이산형 확률변수(discrete random variable)

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확률변수 X 의 Rx 가 유한 집합 또는 셀 수 있는 무한집합의 경우, 확률변수 X는 이산형 확률변수라고 함

 

확률함수 (probability function)

f(x)는 probability 확률변수 X가 스몰 x를 갖는 확률이 된다.(X는 확률 변수, x는 확률 변수 X가 갖는 값 중의 하나

확률함수와 확률함수의 특징

 

모든 값에 대한 f(x)의 합은 1이고 확률의 공리로 인해서 0~1의 범위를 갖는다.

 

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연속형 확률변수(continuous r.v.)

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확률변수 X 의 RX 가 셀 수 없는 무한집합의 경우, 확률변수 X는 연속형 확률변수라고 함

 

밀도함수(density function)

 

f(x) 는 확률변수 X 가 값 x에 대해 밀집된 정도를 나타내는 함수

 

밀도함수의 특징은 아래와 같으며, 여기서 X 는 연속형 확률변수 , a 와 b 는 상수이다

 

밀도 함수와 밀도 함수의 특징

 

밀도함수는 무조건 양의 함수여야 하고 마이너스 무한대에서 플러스 무한대까지 밀도함수를 적분했을 때 총 면적은 1이다.

 

연속형 확률변수 X는 어떤 특정한 값을 가질 확률은 𝑃(𝑋=𝑥)=0 이므로, 𝑃(𝑎<𝑋<𝑏)=𝑃(𝑎≤𝑋<𝑏)=𝑃(𝑎<𝑋≤𝑏)=𝑃(𝑎≤𝑋≤𝑏) 이 네가지 확률이 동일하며 부등호에 민감하지 않다.

(여기서 X 는 연속형 확률변수 , x 는 X 가 갖는 값 중의 하나이다 .)

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문제 1. 다음 함수가 확률함수인지 확인하라

 

문제1에서 주어진 식(1)

 

풀이 

 

x가 0일때 -0.5 이므로 확률 변수의 범위 밖에 있어 확률 함수가 아니다. 따라서 나머지를 확인 할 필요가 없다

 

 

문제 1에서 주어진 식 (2)

 

풀이 : 모든𝑥에대하여𝑓(𝑥)≥0 이고 모든 𝑓(𝑥)의 합이 1이므로 확률함수이다. 

 

문제 2. 𝑓(𝑥) 가 밀도함수가 되기 위한 k 의 값을 구하라

 

문제 2

풀이

풀이를 하기에 앞서 밀도함수의 특징을 통해 주어진 문제가 밀도함수인지 확인하기 위해서 위에서 언급한 두 조건을 확인해 본다.

 

1) f(x)<= 0 이 조건을 만족한다.

2) 모든 구간에서 1이 되는지 확인을 해야한다.

 

풀이 과정

 

따라서 K=6이여야 한다.

 

 

문제 3. 확률변수 X 는 아래의 밀도함수를 가지며 네모 칸 안에 표기된 다음의 확률을 구하라.

 

(1) Ρ(−1<Χ<1/2) = 1/8 ... 정답
(2) Ρ(Χ≤3/2) = 7/8 ... x의 구간을 확인하면 2 구간이 나와 적분하면된다.
(3) Ρ(Χ≥2.5) = 0 ... x의 구간이 2보다 크면 0
(4) Ρ(3/4<Χ<3/2) = 27/32 ... 이것도 동일하게 2 구간이 나옴으로 두 구간에 대해 적분의 범위를 적어주고, 계산하면 된다

 

문제 3

 

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2021.09.14 - [고등 수학/확률과 통계] - 조건부 확률과 베이즈 정리 - 2주차 정리

조건부 확률과 베이즈 정리 - 2주차 정리

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