분포함수, 확류 변수의 평균과 분산, 함수 - 3주차 정리

참조 문헌
1. Probability and Statistics for Engineers and Scientists , Walpole, Myers, Myers and Ye
2. Statistics for Management and Economics, Keller

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분포함수(Distribution Function)

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분포함수 F(x)는 확률변수 X의 누적확률을 나타낸다 또한 대문자 F(x)라고 표현함을 주의하라

F(x)=P(X<=x)

 

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이해를 돕기 위한 예1. 동전 1 개를 3 회 던지는 실험

 

확률변수 X=H의 수

Rx={0.1.2.3}

 

--> P(X=0)=1/8, P(X=1)=3/8, P(X=2)=3/8, P(X=3)=1/8

 

분포함수

 

위 그래프를 볼때 0이 되기 직전까지 누적확률이 0임을 기억하자. 추가적으로 기억해야할 점은 이산형 확률변수의 분포함수 F(x)는 우측 즉 x=3부터 무한대까지 연속임을 알 수 있다.

 

사진 1. 결과

 

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위 예를 통해 알 수 있는 이산형 확률변수의 분포함수 F(x) 의 특징은

 

1 . F(-∞) = 0
2. F(+∞) = 1
3. F(x)는 비감소 함수이다
4. F(x) 는 우측으로부터 연속이다

 

그럼 연속형 확률변수의 분포함수 F(x)의 특징은 무엇일까?

 

연속형 확률변수의 분포함수의 특징

 

적분을 통해서 확률이 계속 누적되기 때문에 -무한대는 0, + 무한대는 1 F(x)는 증가함수이며, F(x)는 모든 x 값에 대해 연속이다.

 

1. F(-∞) = 0
2. F(+∞) = 1
3. F(x)는 증가 함수이다
4. F(x)는 모든 x값에 대해 연속이다. 

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확률변수의 평균과 분산

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확률변수의 평균

 

확률변수는 확률 또는 밀도들이 흩어져 있다 하나의 분포를 이루고 있는데 분포의 중심인 평균과 분포의 중심으로부터 각각의 값들이 얼마만큼 흩어져 있는지 나타내는 척도 및 분산을아는게 중요하다.

 

확률변수의 평균은 분모의 중심이다.

 

X의 평균 (Mean) : 기호로 그리스문자 𝜇

 

E : Expected Value
𝐸𝑋 : Expected value of X, 𝜇=𝐸𝑋

 

EX의 표현

 

이산형, 연속형에 따라 위의 표현을 할 수 있다 좌측은 이산형, 우측은 연속형을 나타낸다.

 

확률변수의 분산

 

확률변수의 분산은 분포의 중심으로부터 각각의 값들이 얼만큼 흩어져 있는지 나타내는 척도

 

X 의 분산 : (Variance of X, VarX) 기호로 그리스문자 σ^2

확률변수 X 가 평균 𝜇로부터 얼마나 흩어져 있는지에 대한 척도

 

분산의 표현

표현

분산도 동일하게 이산형, 연속형에 따라 표현이 조금씩 다르다.

 

 

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확률변수의 함수

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Y=g(X) 

 

X가 이산형 확률변수 이면 Y 도 이산형 확률변수
X가 연속형 확률변수 이면 Y 도 연속형 확률변수

 

확률 변수 X의 함수가 g(X)인 경우에 아래와 같이 표현이 가능하다

 

함수

 

확률변수의 함수의 특징은 확률변수 X 의 함수 : Y = aX + b ,여기서 a 와 b 는 상수이다.

 

E(a) = a
Var(a) = 0 / 상수는 흩어짐이 없음

이 두 조건으로 다음을 해석해보면 다음과 같다

E(aX)=aEX
E(aX+b)=aEX+b
E(aX-b)=aEX-b

 Var(aX)=(a^2)VarX
 Var(aX+b)=(a^2)VarX ... 즉 Var이 위치 이동만 하고 variance에는 변동이 없다는 의미
 Var(aX-b)=(a^2)VarX

따라서 기대값은 선형식 그대로 적용이 가능하고, 상수의 위치이동은 Var에 영향을 주지 않는다.

 

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이해를 돕기 위한 문제 1.

 

이산형확률변수 𝑋가 아래의 확률함수 f(x) 를 가질 때 다음을 구하여라

 

문제 1. 

1) 𝑘를 발견하라
2) 분포함수 F(x) 를 발견하라

 

1)번은 이전 포스팅에서 언급한 이산형 확률변수가 가지는 특징 두가지에 대해서 생각해 보면

 

0<=f(x)<=1 , 모든 f(x)의 합은 1

 

f(1), f(2), f(3) 에 대해 합은 7k/8이 나오게 된다. 모든 합이 1이 나오게 됨으로

 

7k/8=1, ... k=8/7이 나와야 한다.

 

2)번은 1)에서 구한 k값을 문제 1에서 주어진 값으로 대입하여 계산해 보면 아래의 표를 가진다.

 

x	1	2	3
f(x)	4/7	2/7	1/7
F(x)=P(X<=x)	4/7	2/7	1/7

 

분포함수

 

 

문제 2

 

확률변수 𝚾가 다음과 같은 확률함수 (probability function) 을 가진다

 

 

(1) 평균 𝛦(𝛸)를 구하라
(2) 분산분산Var(𝛸)를 구하라
(3) 𝛦(2𝛸)와와Var(𝛸+3)를 구하라

 

풀이 

 

1) 평균은 4이다.

평균 풀이

 

2)  정답은 33-16 = 17 .. 16은 1)에서 구한 E(X)의 제곰

 

분산 풀이

 

3) 정답은 각각 8, 17

 

 

문제 3

 

확률변수 𝚾의 확률함수는 다음과 같을 때 , 답을 구하라

 

 

1) g(𝛸) = (2𝛸+1)^2 일 때때E(g(𝛸)) 을 구하라 ... 정답은 19.67

 

 

 

 

문제 4

 

확률변수 𝚾의 밀도함수는 다음과 같을 때 , 답을 구하라

 

 

(1) 평균 𝛦(𝛸)를 구하라
(2) 분산Var(𝛸)를 구하라
(3) 𝛦(3𝛸+2)와와Var(3𝛸+2)를 구하라

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2021.09.22 - [고등 수학/확률과 통계] - 확률 변수, 이산형 확률 변수, 연속형 확률 변수 - 3주차 정리

확률 변수, 이산형 확률 변수, 연속형 확률 변수 - 3주차 정리

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