확률변수의 독립성, 상관계수-4주차 정리

참조 문헌
1. Probability and Statistics for Engineers and Scientists , Walpole, Myers, Myers and Ye
2. Statistics for Management and Economics, Keller

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확률변수의 독립성

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확률변수 X, Y의 독립

 

사건 A,B가 독립이면 P(AB)=P(A)P(B)로 표현이 가능하며 조건부 확률 계산이 필요 없다.

 

확률변수 X, Y가 독립이면 f(x,y)=g(x)h(y) 이다.

 

어떻게 두 확률변수 X와 Y가 독립인지 알 수있을까?

결합확률함수 또는 결합밀도함수가 각각 주변확률함수 또는 주변밀도함수의 곱인지 아닌지 확인한다.

 

더 확장해서 X1, X2, ... , Xn이 상호 독립이면

 

상호 독립의 표현

 

확률변수 X, Y 독립의 특징

 

확률변수 X, Y가 독립이면 f(x,y)=g(x)h(y) 임을 위에서 알 수 있었음.

 

확률변수 독립의 특징

 

따라서 확률변수 X와 Y가 독립이면 Cov(X,Y)=0

 

Cov(X,Y)=0 이면 X와 Y가 독립일까?

 

답은 일방향이다. 확률변수 X 와 Y 가 독립이면 , 반드시 𝑪𝒐𝒗(𝑿,𝒀)=𝟎
그러나 𝑪𝒐𝒗(𝑿,𝒀)=𝟎는 X 와 Y 의 독립성을 보장하지 않는다.

 

𝑪𝒐𝒗(𝑿,𝒀)=𝟎일 때 X와 Y의 독립 판별 방법은 f(x,y)=g(x)h(y) 인지 확인해야 하며 모든 x, y에 대해 확인을 해야한다.

 

다음 특징으로 넘어가서 확률변수 X와 Y가 독립이면 

 

확률변수 독립의 특징

 

그 이유는 𝑪𝒐𝒗(𝑿,𝒀)=𝟎 이므로 +- 𝑪𝒐𝒗(𝑿,𝒀)가 사라지기 때문이다.

 

여러개의 사건이 서로 독립일 때는 조건부 확률을 계산하지 않아도 되기 때문에 편리했었다. 마찬가지로 독립변수가 여러개 있을 때 서로 독립이라고 하는 조건은 여러가지 계산상 편리성를 주고 간편하기 때문에 유리하다 확률변수 2개 이상이 있을 때 서로 독립의 유무를 확인해야한다.

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확률변수의 선형결합

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확률변수 X 와 Y 의 선형결합 [𝑼=𝒂𝑿+𝒃𝒀]
𝐸(𝑈)=𝑎𝐸(𝑋)+𝑏𝐸(𝑌)
𝑉𝑎𝑟(𝑈)=𝑎^2*𝑉𝑎𝑟𝑋+𝑏^2*𝑉𝑎𝑟𝑌+2𝑎𝑏𝐶𝑜𝑣(𝑋,𝑌) ... 확률변수 X와 Y가 독립이면 C𝒐𝒗(𝑿,𝒀)=𝟎

 

만약 𝑋=𝑋1+𝑋2+⋯+𝑋𝑛이며 , 𝑋1,𝑋2,…,𝑋𝑛독립이라면

 

확률변수 선형 결합

 

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상관 계수

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상관계수(correlation coefficient)는 확률변수 X의 증감에 따른 확률변수 Y의 증감 정도를 나타내는 척도이다.

 

상관계수

 

Cov(X,Y)를 각각의 표준편차인 루트(Var X와 Y)로 나누어준 값이게 된다. 따라서 -1과 1 사이의 값을 가지는 것이다.

단위에 민감한 공분산의 문제점을 해결해주는 것이다.

 

정비례 0<𝜌_(𝑋,𝑌)<1

 

정비례

 

무상관 𝜌_(𝑋,𝑌)=0

 

서로 정보에 대해서 아무런 공유가 없다는 의미

 

무상관

 

반비례 −1<𝜌_(𝑋,𝑌)<0

 

반비례

 

여기서 정비례와 반비례는 𝜌_(𝑋,𝑌)가 각각 1과 -1이며 X와 Y가 100% 공유한다.

 

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문제 1.

 

확률변수 (X,Y) 의 결합밀도함수는 다음과 같다

 

문제 1

 

(1) E(X) 와 E(Y) 을 각각 구하여라
(2) 상관계수 𝜌𝑋,𝑌를 구하여라

 

풀이)

 

1) 먼저 g(x), h(y)를 먼저 구해야 한다

 

문제 1) 풀이 1

 

문제 1) 풀이 2

 

2) 

 

문제 1의 2) 풀이 1

 

g(x)와 h(y)의 곱이 같다 이 뜻은 서로 독립을 의미한다.

 

따라서 Cov(X,Y)=0이고 상관계수는 0이다 X,Y가 독립이기 때문에

 

독립이 아니라면 아래와 같은 계산과정을 거치게 된다.

 

문제 1-2 풀이 2

 

문제 2.

 

확률변수 X 와 Y 는 서로 독립인가?

 

문제 2.

 

 

풀이

 

독립의 유무의 구분을 판별하기 위해 f(x,y)=g(x)h(y) 인지 확인해야한다.

 

문제 2 풀이

 

 

문제 3.

 

𝑪𝒐𝒗(𝑿,𝑿+𝒀)=𝑽𝒂𝒓(𝑿)+𝑪𝒐𝒗(𝑿,𝒀)임을 증명하라

 

문제 3 풀이

 

 

문제 4.

 

확률변수 (X, Y) 의 결합 확률함수는 다음과 같다

 

문제 4

 

(1) 𝑪𝒐𝒗(𝑿,𝒀)를 구하라
(2) 𝑪𝒐𝒓𝒓(𝑿,𝒀)를 구하라
(3) 확률변수 X 와 Y 는 서로 독립인가

 

 

풀이 

 

1) 

 

문제 4-1 풀이 1

 

위와 같이 수식을 이용해 계산을 하면

 

4-1 풀이 2

 

Cov(x,y)=4-4=0이 나온다.

 

2)

 

Cov(x,y)=0 이므로 상관계수도 0

 

3)

 

Cov(x,y)=4-4=0인ㄴ 사실은 두 변수가 독립이라는 것을 보장하지 못한다. 따라서 X,Y가 독립이 되려면 f(x,y)=g(x)h(y) 이여야 한다.

 

하지만 우리가 표에서 보았을 때 x와 y가 각각 2이일때 0임을 알았다.

 

f(2,2)=0 이지만 g(2)*h(2)=2/8 * 2/8 = 1/6이므로

 

f(2,2)는 g(2)*h(2)와 같지 않기 때문에 독립이 아니다

 

 

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2021.09.27 - [고등 수학/확률과 통계] - 이변량 확률변수, 결합확률함수, 결합밀도함수, 주변확률함수, 공분산 - 4주차 정리

이변량 확률변수, 결합확률함수, 결합밀도함수, 주변확률함수, 공분산 - 4주차 정리

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