연속형 확률분포, 중심극한정리(균일분포, 지수분포, 정규분포)-5주차 정리

참조 문헌
1. Probability and Statistics for Engineers and Scientists , Walpole, Myers, Myers and Ye
2. Statistics for Management and Economics, Keller

 

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균일분포

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구간 (a,b ) 에서 X 는 동일한 밀도함수를 갖음

 

균일 분포의 밀도함수

 

균일분포의 표기

 

확률변수 X는 구간 (a,b) 에서 균일분포를 따른다.

 

균일분포 표기

 

균일분포의 평균과 분산

 

균일분포의 평균과 분산

 

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지수분포

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확률변수 X 는 첫 번째 사건이 발생할 때까지 걸리는 시간

 

*기하분포와 지수분포의 차이점

 

지수분포는 첫 번째 사건이 발생할 때까지 걸리는 시간 즉 연속형을 의미하고, 기하분포는 첫번째 성공이 나올 때까지의 시행횟수이다. 즉 이산형을 의미한다.

 

지수분포의 밀도함수

 

지수분포의 표기

 

지수분포 표기

 

지수분포의 평균과 분산

 

 

지수분포의 평균과 분산

 

 

지수분포의 무기억성(지수분포의 특징)

 

지수분포에서 𝑷(𝑿>𝒕)는 첫 번째 사건이 시간 𝒕이후에 발생하는 확률

X 는 첫 번째 사건이 일어날 때까지의 시간이며 𝑿>𝒕은 t 시간까지는 사건 발생이 없다는 의미

 

*포아송분포와 지수 분포의 차이점

 

위에서 설명한 것을 푸아송분포에서 살펴보면 X=0이 되게 된다.

 

X가 푸아송 분포를 따르면 X는 0이다.

 

따라서 지수분포에서 probability X가 t보다 크다는 확률은 

 

 

 

** X가 t 시간까지 아무 사건이 발생하지 않았다면 이후에 추가로 s 시간이 지날 때까지도 사건이 발생하지 않을 확률

 

위 조건에 대한 식

 

위의 이해를 더 높여주기 위한 예를 들면

시스템이 잘 작동했다는 전제에서 s시간 동안에도 잘 작동할 확률을 얘기할 때 얼마나 작동을 잘 했는지는 무관

 

 

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정규 분포

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정규분포의 밀도함수

 

정규분포의 표기

 

확률변수 X는 평균 𝜇와 분산 𝜎^2인 정규분포를 따른다.

 

정규분포 표기

 

 

정규분포의 평균과 분산

 

정규분포의 평균과 분산

 

정규분포의 특징

 

정규분포의 특징

 

표준정규분포

 

정규분포를 평균 =0 , 표준편차 =1 이 되도록 표준화 한 것, 표준정규분포는 평균 0을 중심으로 좌우 대칭이다.

‣ 표준화 

 

표준정규분포의 표준화

‣ 확률변수 Z 가 따르는 분포를 표준정규분포라 함
‣ 일반적인 정규분포와 표준정규분포의 확률을 구하는 것은 일대일 대응 관계

 

*일반 정규분포와 표준정규분포의 일대일 대응관계

 

일대일 대응관계(왼쪽이 일반 정규, 오른쪽이 표준 정규분포)

 

 

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중심극한정리

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중심극한정리에서는 확률변수 𝑿𝟏,𝑿𝟐,…,𝑿𝒏이 서로 독립하며 평균 𝝁와 분산 𝝈^𝟐을 갖는 동일한 분포 를 따른다고 가정
(동일한 분포이지 어떤 특정한 분포인 것은 아님을 기억하자)

 

중심극한정리

 

중심극한 정리에서는 확률변수의 분포에 상관없이 표준정규분포에 수렴한다 따라서 정규분포의 중요성을 나타낸다.

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문제 1. 지수분포를 활용하는 예제

 

기계조립품은 진동에 잘 견뎌야 한다 . 진동수명은 진동시험에서 탈락할 때까지의 시간을 의미한다 . 한 기계 조립품의 진동수명의 평균이 400 시간의 지수분포를 따른다고 한다 .

 

(1)기계 조립품이 진동시험에서 100 시간 이전에 탈락할 확률을구하라
(2) 이 기계 조립품이 진동시험에서 400 시간 동안 통과한 상황에서 향후 100 시간 이상 통과할 확률을 구하라

 

풀이 1)

 

문제 1 풀이1

 

2)

 

지수분포의 무기억성을 활용

 

문제 1 풀이 2

 

문제 2. 표준 정규분포 문제

 

확률변수 X 는 평균이 100 이고 분산이 16 인 정규분포를 따른다고 하자 . 다음의 확률을 구하라

 

(1)𝑃(95<𝑋<103)

 

풀이)

 

문제 2 풀이

 

R을 이용한 풀이

 

 

문제 3.

 

자동차 종합검사 시간은 평균 15 분 그리고 표준편차 10 분으로 알려져 있다 . 100 대 자동차 종합검사에 소요되는 시간이 1800 분을 초과하는 확률을 구하라 .

 

풀이)

 

문제 3 풀이1

 

문제 3 풀이 2