이변량 확률변수, 결합확률함수, 결합밀도함수, 주변확률함수, 공분산 - 4주차 정리

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이변량 확률변수

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이변량 확률변수의 정의

 

두 개의 확률변수를 동시에 고려할 때 (X,Y)가 어떤 특성을 갖는지 알아보는 것

확률변수 X와 Y가 모두 "이산형 확률변수", "연속형 확률변수"로 구분

(X, Y가 모두 이산형 또는 연속형이거나 X는 이산형, Y는 연속형일 수도 있음)

 

 

결합확률함수(Joint Probability Function)

확률변수 X와 Y가 모두 이산형 확률변수인 경우

𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑃(𝑋 = 𝑥, 𝑌 = 𝑦)

 

f(x, y)의 범위

 

총 합은 1이 되어야 한다.

 

결합확률함수의 주변확률함수

 

때로는 X 만의 움직임 또는 Y 만의 움직임 특성을 살펴볼 필요가 있음

 

X의 주변 확률 함수

 

Y의 주변확률 함수

  

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결합밀도함수의 특징

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확률변수 X와 Y가 모두 연속형 확률변수인 경우

 

양의 함수여야 한다.

 

총 면적은 1

 

2중 적분으로 구할 수 있음

 

 

결합밀도함수의 주변밀도함수

 

g(x)

h(y)

 

 

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공분산(Covariance)

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확률변수가 2개 이상일 때 존재이며, 확률변수 X와 Y가 평균 E(X)와 E(Y)로 부터 어떻게 흩어져 있는지를 나타내는 척도이다. 이러한 공분산의 특징은 단위에 민감하다.

 

공분산의 특징

 

공분산의 특징2

 

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문제 1.

 

8 개의 공 빨간색 , 파란색 , 초록색 이 들어있는 주머니에서 2 개의 공을 무작위로 선택한다
X = 파란색 공의 수, Y = 빨간색 공의 수

 

파란색은 3개, 빨간 색 2개, 초록색 3개의 공이 있음

 

풀이 ) R(X,Y)={(0,0), (0,1), (0,2), (1,0), (1,1), (2,0) ... 2개의 공을 무작위로 선택하기 때문에

 

결합확률 함수의 계산

 

풀이과정

 

문제 2.

 

확률변수(𝑿,𝒀)의 결합확률함수는 다음과 같다.

 

문제 2

 

1 ) 𝑿의 주변확률함수 𝒈(𝒙)를 구하여라
2 ) 𝒀의 주변확률함수 𝒉(𝒚)를 구하여라

 

풀이)

 

1) 

1번 풀이

 

2)

 

2번 풀이

 

문제 3.

 

결합밀도함수는 다음과 같다. 다음의 확률을 구하라(𝑃(0<𝑥<1/2,1/4<𝑦<1/2))

 

문제 3

 

풀이)

 

문제 3 풀이

 

 

문제 4.

 

결합밀도함수는 다음과 같다. X 와 Y 의 주변밀도함수를 구하라

 

문제 4

 

풀이

 

문제 4 풀이

 

x, y의 범위를 고려해야한다. x가 y보다 커야하기 때문에 적분의 범위는 위와 같이 수정됨을 확인하자

 

문제 5.

 

결합밀도함수는 다음과 같다. 𝑪𝒐𝒗(𝑿,𝒀)를 구하라.

 

문제 5

 

문제 5 풀이

 

 

 

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2021.09.22 - [고등 수학/확률과 통계] - 분포함수, 확류 변수의 평균과 분산, 함수 - 3주차 정리

분포함수, 확류 변수의 평균과 분산, 함수 - 3주차 정리

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