조건부 확률과 베이즈 정리 - 2주차 정리

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이전 진도

 

2021.09.11 - [고등 수학/확률과 통계] - 확률의 정의 - 2주차 정리

확률의 정의 - 2주차 정리

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참조 문헌
1. Probability and Statistics for Engineers and Scientists , Walpole, Myers, Myers and Ye
2. Statistics for Management and Economics, Keller

 

조건부 확률 (conditional probability)

 

사건 A 가 일어났다는 조건 하에 사상 B 가 발생할 확률 기호는 𝑃(𝐵|𝐴)를 사용

 

식 1. 조건부 확률 공식

P(B)는 조건부 확률로 표기해보면 P(B|S)는 사건 B의 확률을 구할 때 관심의 대상이 표본공간(S)이였다 S에서 B가 발생할 확률을 보았기 때문에 아래 사진 처럼 표기한다.

 

하지만 P(B|A)에서는 표본공간(S)에서 사건 A로 축소 되었기 때문에 그 조건하에서 사건 B의 발생확률이다.

 

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이해를 돕기 위한 예제 1.

 

50 명이 수강하는 과목 A 라는 수업에는 안경을 쓴 학생의 비율이 70%, 3 학년 학생의 비율이 35%, 그리고 안경을 쓴 3 학년 학생의 비율은 20% 이다 . 한 학생을 임의로 불렀을 때 그 학생이 안경을 쓴 학생이다 . 그렇다면 이 사람이 3 학년 학생일 확률P(A|B)을 구해보자

 

3학년 학생을 "A" 안경쓴 학생을 "B"라고 가정하자

 

P(A|B)=P(AB)/P(B)=0.35/0.7 

 

전체 학년에서의 안경을 쓴 학생의 비율이 0.7이며, 해당되는 교집합 즉 안경쓴 학생의 비율이 0.35임으로 P(AB)는 0.35이다. 그 중에서 전체 안경 쓴 학생으로 나눈 비율로 계산한다.

 

예제 2. (비복원 추출법에 관한 문제)

 

상자에 8 개의 white chip 과 12 개의 black chip 이 들어 있다 . 랜덤으로 한 개를 뽑아서 색깔을 확인한 후 상자에 넣지 않고 따로 보관한다(비복원 추출)  이때 결과가 WBBWB 가 나올 확률 즉 P(WBBWB) 을 구하라.

 

풀이 )

 

W가 나올 확률은 8/20, B가 나올 확률은 12/20

 

문제에서 원하는 것은 "결과가 WBBWB 가 나올 확률 즉 P(WBBWB)" 이므로

 

처음 W가 나올 확률은 8/20 Chip을 확인하고 복원하지 않음으로 전체 개수는 19로 감소(=20-1), W또한 8개에서 7개로 감소한다.

 

그 다음 순서로 B가 나올 확률은 12/19 ... 전체 개수가 감소되었기 때문이다. 이것도 마찬가지로 확인하고 복원하지 않았음으로 19 -1=18개의 전체 개수가 되며 B는 12개에서 11개로 감소한다.

WBBWB로 계속 진행한 식의 결과는 아래와 같다

 

(8/20)*(12/19)*(11/18)*(7/17)*(10/16)=0.04 가 된다.

 

*복원 추출 With Replacement(상자에 여러공이 있을때 공을 빼고 확인하고 다시 넣는 것)

*비 복원 추출 (상자에 여러공이 있을 때 공을 빼고 확인하면 공을 다시 넣지 않는 것)

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사건의 독립

 

주사위를 하나를 처음 굴렸는데 3이 나오고 같은 주사위를 두번 굴릴때의 결과는 첫번째 결과와 아무런 관련이 없다.

 

위와 같은 사건 A(처음 굴린 값) B(두번 째 굴린 값)은 서로 독립이라고 말한다. 즉 AB가 서로 영향을 주고 받지 않는다 즉 B라는 조건하에서 사건에서 A가 일어날 확률은 즉 P(A|B)=P(A) 또는 P(B|A)=P(B)

 

2개의 사건이 주어진 경우

 

사건 A 와 B 가 독립이라면 조건부 확률 공식을 이용하면

 

𝑃(𝐴│𝐵)=(𝑃(𝐴𝐵))/(𝑃(𝐵))=𝑃(𝐴)이므로 𝑃(𝐴𝐵)=𝑃(𝐴)𝑃(𝐵)가 성립

𝑃(𝐴𝐵)=𝑃(𝐴)𝑃(𝐵)이면 사상 A 와 사상 B 는 서로 독립

 

2개의 사건이 있을 때
이것들이 독립이지 않다면 조건부 확률의 계산이 필요 𝑃(𝐴)>𝟎,𝑃(𝐵)>𝟎이면 𝑃(𝐴∩𝐵)=𝑃(𝐴)𝑃(𝐵│𝐴)=𝑃(𝐵)𝑃(𝐴│𝐵)

 

 

3개 사건의 독립

 

사건 ABC의 교집합 발생 확률

𝑃(𝐴𝐵C)=P(A)𝑃(B│A)𝑃(C│AB)

 

사건 ABC가 독립일 때 교집합 발생 확률

P(ABC)=P(A)P(B)P(C)

 

사건 ABC가 상호 독립이 되기 위한 조건

 

4개 사건의 독립

 

사건 ABCD의 교집합 발생확률

P=(ABCD)=P(A)𝑃(B│A)𝑃(C│AB)𝑃(D│ABC)

 

사건 ABCD가 독립일 때 교집합 발생확률

P(ABCD)=P(A)P(B)P(C)P(D)

 

사건 ABCD가 상호 독립이 되기 위한 조건

 

순서 1. 사건 두 개를 선택하여 등식 성립 확인

순서 2. 사건 세 개를 선택하여 등식 성립 확인

순서 3. 사건 네 개를 선택하여 등식 성립 확인

 

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이해를 돕기 위한 예시 1.

 

한 공장의 라인은 4 개의 부품생산 라인이 병렬로 연결되어 있어 적어도 하나의 부품생산라인만 작동을 하면 이 공정의 라인은 정상적으로 가동을 한다. 각 부품생산 중에 고장이 발생하는 사상은 독립적이고 각 부품생산 라인이 고장 날 확률은 0.10 이라고 할 때 이 공장의 라인이 정상적으로 가동할 확률은 얼마인가?

풀이 )

 

병렬라인인 경우 4개의 라인이 고장나지 않는 이상 생산 라인은 항상 운영된다 따라서 공장이 멈추는 확률만 구하게 되면 답을 알 수 있다.

 

P(정상가동)1-P(가동 하지 않는 것) = 1-(0.1)^4 = 0.9999

 

예시 2.

 

다음과 같은 표본공간 S 가 정의되었다 . x,y,z 축 값들이다 .

사건 A 는 x 축이 1 인 원소를 갖는다 .
사건 B 는 y 축이 1 인 원소를 갖는다 .
사건 C 는 z 축이 1 인 원소를 갖는다

주어진 표본공간은 아래와 같다.
𝑆={(𝟏,𝟎,𝟎),(𝟎,𝟏,𝟎),(𝟎,𝟎,𝟏),(𝟏,𝟏,𝟏)}

𝐴={(1,0,0),(1,1,1)} 𝐵={(0,1,0),(1,1,1)} 𝐶={(0,0,1),(1,1,1)}  ... 각 XYZ축에서 원소를 갖는 확률

𝑃(𝐴)=1/2, 𝑃(𝐵)=1/2, 𝑃(𝐶)=1/2

AB=BC=AC={(1,1,1)}

𝑃(𝐴𝐵)=1/4=𝑃(𝐴)𝑃(𝐵)
𝑃(𝐵C)=1/4=𝑃(B)𝑃(C)
𝑃(𝐴C)=1/4=𝑃(𝐴)𝑃(C)

P(ABC)=1/4이지만 P(A)P(B)P(C)=1/8이라서 아니다 따라서 서로 독립이라고 할 수 없다.

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사건들의 관계

 

아래 사진처럼 표본공간 S 가 A1 A2 A3 …. An 으로분할이 되어 있다. 즉 , A1 A2 A3는 각각 상호배타관계이다.
A1 U A2 U A3 U … U An 했을 때 표본공간 S 가 됨

 

따라서 A1 A2 A3 …. An은 사건 표본공간S 를 분할한다.

사건들의 관계를 이해하기 위한 것

아래 사진처럼 사건 B가 발생할 확률은 아래와 같다.

각각의 A1,2,3 ... n까지가 서로 상호배타이기 때문에 사건 b와 각각의 a1,2,3 또한 상호배타이다.

 

𝑃(𝐵)=𝑃(𝐴1𝐵)+𝑃(𝐴2𝐵)+⋅⋅⋅+𝑃(𝐴𝑛𝐵)

      =𝑃(𝐵|𝐴1)𝑃(𝐴1)+𝑃(𝐵|𝐴2)𝑃(𝐴2)+⋅⋅⋅+𝑃(𝐵|𝐴𝑛)𝑃(𝐴𝑛)

그림

 

베이즈 정리(Bayes’ theorem)

 

위 사건들의 관계를 활용하면 베이즈 정리를 나타낼 수 있다.

 

만약 A1 A2 A 3 …. A n 이 표본공간을 분할하면

 

베이즈 정리 식

 

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이해를 돕기 위한 예제

 

모기업은 협력회사 A,B,C 로 부터 각 30%, 30%, 40% 의 동일 부품을 공급받고 있다.
A회사와 B 회사의 불량율은 0.01, C 회사의 불량율은 0.005이다. 한 부품을 검사했더니 불량으로 판명되었다.

이 부품을 A 회사가 제조했을 확률을 구하라 ---> 베이즈 정리를 사용하면 편하다.

 

P(A)=30% .... 0.01=P(D|A) .... D는 불량품

P(B)=30% .... 0.01=P(D|B)

P(C)=40% .... 0.005=P(D|C)

 

결국 문제는 불량품이 A가 만들었을 확률을 구하는 것이다. 다시 말해서 P(A|D)를 구하는 것

 

P(A|D)는 어떻게 구할까? --> 베이즈 정리

 

P(A|D)=P(AD)/P(D)

 

P(D)=P(D|A)P(A)+P(D|B)P(B)+P(D|C)P(C) ... 불량품이 나올 확률은 A,B,C 회사가 다 있으므로 각각 회사가 만들고 불량인 확률을 구하는 것이다.

 

계산해보면 P(D)=0.08이다

 

P(AD)=P(D|A)P(A)=0.01*0.3=0.003

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감사의 글

 
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