저항회로와 전압분배 전류 분배에 대해서 알아보자

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머 릿 말

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안녕하세요 배고픈 노예입니다.

오늘은 직렬 저항, 병렬저항, 전압분배, 전류 분배에 대해서 알아보도록 하겠습니다.

 

지난 시간에 배웠던 KCL KVL를 이용해서 직병렬 저항을 유도해보고 응용에도 해당이 될 수 있는 전압과 전류 분배에서도 알아볼게요

 

kcl kvl에 대해 긴가민가 하신 분들은 아래 링크를 참고 바랍니다.

 

2021.07.22 - [전자회로의 이해/Basic] - 키르히호프 전압, 전류 법칙 완벽히 알아보자

키르히호프 전압, 전류 법칙 완벽히 알아보자

2021.07.20 - [전자회로의 이해/Basic] - 옴의 법칙과 저항의 전력를 알아보자

옴의 법칙과 저항의 전력를 알아보자

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목차는 아래와 같습니다.

1. 직렬 저항

2. 병렬 저항

3. 전압 분배

4. 전류 분배

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직렬 저항

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먼저 직렬의 의미부터 알아보도록 할게요.

 

직렬(Series, 直列(곧을 직 벌일 렬) : 회로 부품의 한 끝을 다른 회로 부품의 한 끝에 접속하여, 전류에 대해 단 하나의 통로를 주도록 하는 것이라 정의 되어 있습니다.

 

직렬로 연결된 저항

 

위 회로를 보게 되면 정의된 것과 동일하게 각 회로 소자가 다른 회로소자에 연결이 되어있고 전류 Is가 하나의 통로인 것 처럼 보이게 되죠

 

실제로도 루프가 하나인 회로에서 직렬 저항에 흐르는 전류는 다 같습니다.

각각 노드에서 들어가고 나가는 방향이 하나이기 때문이죠.

 

따라서 전류의 입장에서 각 저항에 흐르는 전류는 같은 양이 흐른다.

 

등가 저항

 

전압을 알아보기 위해서 키르히호프 전압법칙을 사용하고 전류가 각각의 저항에서 전압 강하를 한다고 정의할 때 전압은 아래와 같습니다.

 

$$-V_s+I_sR_1+I_sR_2I_sR_3+ ... +I_sR_n=0 ... Eq.(1)$$

$$V_s=I_s(R_1+R_2+R_3+ ... +R_n) =I_sR_{eq} ... Eq.(2)$$

$$R_{eq}=R_1+R_2+R_3+ ... +R_n ... Eq.(3)$$

 

 

위 식의 Req에서 eq의 의미는 등가(equivalent, 等價 : 무리(모여서 뭉친 한 동아리 "등" 값 "가")를 의미합니다.

직렬 회로에서의 등가 저항(Equivalent Resistance)은 저항의 수가 늘어나면 등가 저항의 값도 늘어남을 알 수 있고 

 

전압은 각 Is가 고정되어있다고 가정했을 때 각 저항에 걸린 전압은 저항의 값에 따라 저항에 걸린 양단의 전압이 정해질 수 있음을 알 수 있습니다.

 

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병렬 저항

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병렬저항은 하나의 노드 쌍(노드 a와 b)에 연결이 될 때 이를 병렬(parallel or shunt)이라고 한다.

 

 

병렬로 연결된 저항

 

각 저항 양단의 걸린 전압은 Vs와 동일하게 됩니다.

노드 a에서 R2에 흐르고 각 저항의 값에 따라 전류가 나뉘어며 옴의 법칙을 통해 계산을 해보시면 같음을 알 수 있습니다.

이해하기 쉽게 표현한 노드와 브랜치

 

키르히호프 전류 법칙(KCL)으로 부터 전체전류(Is)는 각 브랜치로 흐르는 모든 전류의 합과 같습니다.

 

$$I_s=I_1+I_2+ ... + I_n ... Eq.(4)$$

 

병렬 저항 등가회로

 

저항의 병렬 연결은 각 저항에 걸린 전압이 같아야 하는 것을 의미하게 됨으로 아래와 같이 표현이 가능합니다.

 

$$I_1R_1=I_2R_2= ... =I_nR_n=V_s ... Eq.(5)$$

$$I_n=\frac{V_s}{R_n} ... Eq.(6)$$

 

식 6과 같은 전류에 대한 식을 각 전류에 식을 세워 식 4에 대입함으로써 아래의 결과를 가집니다.

 

$$I_s=I_1+I_2+ ... + I_n=V_S(\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}+ ... + \frac{1}{R_n}) ... Eq.(7)$$

$$\frac{I_s}{V_s}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}+ ... + \frac{1}{R_n} ... Eq.(8)$$

$$\frac{1}{R_{eq}}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}+ ... + \frac{1}{R_n} ...Eq.(9)$$

 

컨덕턴스는 저항의 역수이므로 직렬저항 계산하는 것처럼 계산을 하면 훨씬 더 쉽게 계산이 가능합니다.

 

식 9에서는 병렬로 접속하는 저항이 많이질수록 등가 병렬 저항의 값은 더 작아지는 것을 의미함을 알 수 있습니다.

 

 

아래에 설명하는 등가저항 계산에서 외워두면 회로 해석하는데에 좋은 계산법이 있어서 적어보려 해요

등가 저항이 2개만 있을 경우(위 회로에서 R1과 R2만 있는 경우) 등가저항은 아래와 같습니다.

 

$$\frac{1}{R_{eq}}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}=\frac{R_2+R_1}{R_1R_2} ... Eq.(10)$$

다시 역수를 취해 정리를 하면 아래와 같습니다.

$$R_{eq}=\frac{R_1R_2}{R_1+R_2} ... Eq.(11)$$

 

식 11은 병렬로된 단 2개의 저항에 대해서는 분모에 두 저항의 합으로 표현이 되고 분자에는 두 저항의 곱으로 표현이됩니다.

 

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전압 분배

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전압 분배같은 경우에는 흔히 회로 실험을 할때 디지털 멀티미터로 전압을 측정하거나 아니면 어떤 회로에 일정 전압을 공급해주기 위해서 전압 분배 회로를 사용하게 됩니다.

 

전압 분배(Voltage Division)는 옴의 법칙과 키르히호프 법칙을 적용함으로써 회로를 해석할 수 있습니다.

전압분배를 이해하기 위한 회로의 예

 

위 회로에서의 w의 의미는 want로 표현하고 싶어서 표현하게 되었습니다.

 

각 저항은 다른 저항 값을 가졌다고 가정하고 옴의 법칙에 의해서 각 저항(R1, R2 ...)은 각각 다른 전압의 강하를 얻게 됩니다.

원하고자 하는 전압을 알기 위해 아직 알지 못한 전체 전류(Is)를 구하기 위해 옴의 법칙을 적용하여 다음을 얻습니다.

 

$$I_s=\frac{V_s}{R_{eq}} ... Eq(12)$$ 

 

식 12의 등가 저항은 직렬 저항이니 식이 이해가 가지 않는다면 직렬 저항의 표현을 확인해주시면 되겠습니다.

전체 전류를 알았음으로 원하고자 하는 저항의 전압 강하를 알기 위해 아래와 같이 표현이 가능합니다.

 

$$V_w=I_sR_w=\frac{R_w}{R_{eq}}V_s ... Eq(13)$$ 

 

원하고자 하는 저항의 전압 강하는 전체전류와 해당 저항의 곱으로 표현이 가능하고 식 12를 대입해주면 식 13과 같은 결과가 나옵니다.

 

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전류 분배

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전류 분배역시 전압 분배랑 비슷합니다. 전류 분배(Current Division)은 걸리는 전압을 옴의 법칙을 통해 각 브랜치에 흐르는 전류를 알아야 하는데 회로망에 공급되는 전압(Vs)를 알면 원하고자 하는 저항의 흐르는 전류를 알 수 있습니다.

 

전류 분배 이해를 돕기 위한 회로

 

$$V_s=I_s(R_1||R_2|| ... ||R_n)=I_sR_{eq} ... Eq.(14)$$

 

공급되는 전압을 통해 병렬은 같은 공급 전압을 가지므로 원하고자 하는 저항의 흐르는 전류는 아래와 같습니다.

공급 전압을 알고 있으니 식을 대입해서 넣는다.

 

$$I_w=\frac{V_s}{R_w}=\frac{R_{eq}}{R_w}I_s ... Eq.(15)$$

 

오늘은 전압 분배와 전류 분배에 대해서 알아보게 되었는데 유익하게 보셨음 좋겠습니다.

감사합니다.