회로를 해석하는 방법중에서 여러가지 방법이 있습니다.
맨 처음 KVL과 KCL에 대해 기초를 닦고 그 다음 노드 전압법과 망 전류법을 통해서 조금 더 해석하는 방법을 찾았었죠 이것들 외에도 여러가지의 회로 해석 방법들이 존재합니다.
그 중에서 테브난과 노턴, 중첩을 하기 위해서 거쳐야하는 중요한 회로 해석방법이 있는데 그것은 바로 전원 변환(Source Tranformation)을 설명하려 합니다.
전원 변환을 설명하기에 앞서 이상적인 전압원과 전류원과 실제 전압원과 전류원을 이해를 하고 전원 변환을 알게 된다면 더 오래 기억이 남게 됩니다.
이상적인 전원과 실제 전원
이상적인 전원과 실제 전원을 알아가기 앞서 전류원이 0A, 전압원이 0V이면 어떻게 될까요?
이 질문에 대해 답을 할 수 있어야 이상적인 전원과 실제 전원에 대해 이해하는데 도움이 많이 될 겁니다.
전압부터 알아보게 되면
식(1)로부터 저항이 0 즉 단락(Short, 쇼트)이 되면 저항성분이 없어 전압 강하는 없지만 전류는 흐를 수 있다는 것을 알 수 있습니다.
그 다음 전류원을 알아보게 되면
식 (2)를 통해 전류원이 0 A인 경우 전압은 존재하지만 전류는 0임으로 전류가 흐를 수 없어 개방 상태가 되게 됩니다.
정리하자면
전원이 0 V인 경우 전압강하(Voltage Drop)은 없지만 전류는 흐를 수 있고, 전류원이 0 A인 경우 전류는 흐를 수 없지만 전압강하는 존재하게 됩니다.
자 그러면 도대체 이상적인 전원과 실제 전원의 차이점이 뭐길래 왜 이 부분을 다룰까? 에 대해 의문점이 있을 수 있습니다.
뭐.. 뻔한 정답이지만 이상적인 전원처럼 일정한 전압 또는 전류를 공급하는게 아니기 때문이죠.
위 회로를 보시면 실제 전압원은 전압원과 내부 저항이 포함이 되어 있습니다. 구성은 전원과 연결되어 있는 저항이라 표현할 수 있는 것이지요.
아랫 첨자 "s"는 Source : 전원에 대한 약자이며, "L"은 부하저항을 의미하게 됩니다.
전원에 흐르는 전류는 부하저항으로 흐르게 되죠.
KVL을 사용하여 폐회로에 대한 식과 부하 저항에 걸리는 전압으로 표현하면 아래와 같습니다.
기존에 이상적인 전압원 같은 경우는 저항이 0 즉 단락 상태에서 공급전압만 부하 저항에 전달하였는데 내부에 있는 저항성분으로 인해 부하 저항에 걸리는 전압은 전류의 변화 또는 저항 값에 의해 달라지게 됩니다.
전류를 대개 회로에서의 저항은 고정된 값이므로 전류를 변화시키면 아래와 같은 결과를 가지게 됩니다.
그러면 이상적인 전압원처럼 Vs만큼 공급해주고 싶을때는 어떻게 해야할까요?
정답은 부하 저항을 무한대로 해주게 되면 즉 부하 저항에 전류를 흐르지 않게 만들면(개방 회로 oc : open circuit) Vs만큼의 전압을 공급 해줄 수 있습니다.
그러면 전압을 일정하게 주는 방법은 알았으니 전압원을 통해서 흐르는 전류공급에 대해 알아보죠.
이번엔 전류가 흘러야 하니 부하가 개방이 아닌 단락(Short)인 상태를 보아야 합니다.
부하저항(RL)은 0이 되어 단락이 되고
전류는 옴의 법칙으로 인해 단락 전류(sc : short circuit)는 아래와 같습니다.
하지만 저항은 무한대가 되기 어려우므로 실제로는 부하 저항에 걸리는 전압이 있음으로 부하저항에 걸리는 전압과 전원 전압의 차로 표현이 됩니다.
따라서 이상적인 전원과 실제 전원에 대한 결과를 표현하면 아래와 같습니다.
이제 전압원에 대해 알았으니 전류원으로 넘어가보도록 할게요
전압원에 대해 길게 설명을 했으니 전류원은 짧게 넘어가도 충분히 이해하실겁니다.
전류원의 내부 저항은 전원과 병렬로 연결이 되어 있습니다. 각각의 소자가 만나는 지점에서 KCL을 적용하면 아래와 같습니다.
실제 전원에서의 전류원은 내부 저항에 걸리는 부하 저항의 전압 강하로 인해 부하에 흐르는 전류는 식 (5)와 같은 관계를 가지게 됩니다.
전압원과 동일한 절차로 부하 저항의 값이 무한대인 경우에 개방회로를 가진 부하 전압은 아래와 같습니다.
부하 저항이 개방회로가 되면서 폐루프는 1개이니 내부 저항에 걸리는 전압 강하가 개방회로의 부하 저항과 동일하게 됩니다.
단락회로일 때는 아래와 같은 관계를 가집니다.
왜 이렇게 가지는지 의문을 가지실텐데 내부 저항과 부하 저항의 병렬연결식은 아래와 같습니다.
RL이 단락일 땐 저항 값이 0이여서 두 저항의 병렬 연결은 0이 되어 단락회로가 됩니다. 따라서 실제 전류원과 이상적인 전류원은 아래와 같은 결과를 가지게 됩니다.
전원 변환
이상적과 실제 전원에 대해 알아 보았으니 이제 전원 변환을 다루어보도록 할게요 전원 변환은 저항과 직렬로 연결된 전압원을 저항과 병렬로 연결된 전류원으로 바꾸어 줄 수 있습니다.
위 사진에서 보는 회로에서 전원의 극성이 반대이면 전류의 방향도 반대로 되게 됩니다.
자 그럼 맨 처음에 볼 수 있었던 전원 변환의 회로에서 결국 전압 Vs와 Is는 서로 등가임을 증명을 해야됩니다. 증명을 하기 위해서 단자 a, b 사이에 부하 저항을 연결하여 알아보록 합시다.
Vs와 Is의 관계를 알기 위해서 부하 저항(RL)이 전류원 회로에서 부하 저항에 흐르는 전류의 값이 같고, 전압 강하의 값이 같다면 등가는 성립되게 됩니다. (전압원회로도 똑같음)
좌측의 전압원 회로에서 부하저항에 흐르는 전류는 직렬 저항의 합과 전압원 Vs를 통해 옴의 법칙을 적용하면아래와 같습니다.
우측의 전류원 회로에서 전류 분배를 통해 계산하면 아래와 같습니다. (식이 어렵게 느껴지신다면 전류분배기 회로 파트 참고)
각 병렬의 전압은 Vs이고 병렬 저항과 Vs에서 흐르는 전류 Is의 곱으로 표현이 되고 부하저항의 전류를 식 (8)의 맨 우측의 식과 대입해서 계산하게 되면 부하저항에 흐르는 전류는 아래와 같습니다.
이제 식 (7)과 식(9)에서 부하저항에 흐르는 전류가 같다고 하면(등가 라면) 전류를 같아야 하니 아래와 같이 표현이 되는데
두 항이 같음으로 표현하여 Is에 대해 계산을 해보면 아래와 같습니다.
식 (11)이 위 회로에 대해 만족이 된다면 부하저항에 흐르는 전류는 모든 부하저항의 값에 대해 전압원과 전류원 회로 모두 같다라고 볼 수 있습니다.
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