회로 잡음 (Noise)과 전력 스펙트럼 밀도(power spectral density)의 이해

개인적으로 글을 쓴 나는 잡음 파트에 정말 약했기 때문에 여러 서적들을 참고하여 적었기 때문에 나의 자습장처럼 적어놓은 느낌이 있을 것이다.

이 단원을 이해하기 위해서는

1. 확률과 통계[고등 수학 카테고리에 존재] ... 잡음을 해석하게 해주는 도구
2. 회로이론 2 과정의 rms ... 이것 역시 해석하게 해주는 도구
3. 통신 공학 ... 회로와 확률

세 부분을 읽어주면 이해하는데에 도움이 많이 될 듯 싶다. 틀린 부분이 있다면 지적해주기 바랍니다.

 

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잡음은 왜 중요할까?

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1) 모든 전기적인 신호는 잡음을 포함하고 있다.

2) 처리할 수 있는 최소 신호를 설정

3) 가끔씩 전력의 제한을 더 낮춘다 -> 잡음 제한 설계

 

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잡음의 종류(Types of Noise)

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잡음의 종류로는 크게 2가지가 있다.

 

1. 간섭 (엄격히 말해서 잡음은 아님)

 

- 신호 커플링(Signal Coupling)

- 전력 공급 잡음(Power Supply Noise)

 

--> 이 둘은 차동 증폭기 내용에서 다루었었다.

 

2. 소자 잡음(Device Noise)

 

- 열 잡음(핵심, 완전히 랜덤임)

- 플리커 잡음(낮은 주파수에서 존재함, 이 잡음에 대해서는 개별적으로 포스팅할 예정)

- 샷 잡음(게이트-소스 전압이 문턱전압에 접근할 때 발생함)

 

 

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잡음 통계

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회로이론 복습

 

임의로 전류 파형(Current Waveform)의 함수로써 실효값을 정의한다. 전압도 동일하게 구할 수 있다.

어떤 주기 전류의 실효값(effective value)은 주기 전류또는 전압이 부하저항 R인 저항에 공급하는 것과 같은 전력을 보내게 하는 직류 전류의 값과 동일하게 하는 것이다.

 

따라서 주기가 T인 주기 전류 i(t), 전압v(t)에 의해 부하저항에 공급되는 평균 전력을 잡음의 관점에서 식을 새로 고쳐적어본다.

 

부하 저항과 전압에 대한 전력의 표현은 식 1과 같다

 

식 1

 

주기 전압 및 전류에 의해 공급되는 평균 전력은 식 2로 표현한다.

 

식 2

 

식 1과 2가 같다고 표현하면 아래와 같이 표현된다.

 

식 3

 

 

그 다음으로 확률 및 통계에서 배웠던 분산과 표준편차에 대해 생각해보자

 

확률과 통계 복습

틀린 부분이 있다면 덧글로 지적해주시면 감사하겠다.
이 부분은 "고등 수학" 카테고리에서 분산에 적혀 있음으로 간단하게 짚고만 넘어가도록 하자.
이 글 맨 아래에 관련 글을 링크에 걸어 둘테니 읽는 독자분들에게 도움이 되었음 좋겠다.

 

확률 변수의 분산은 분포의 중심으로부터 각각의 값들이 얼만큼 흩어져 있는지 나타내는 척도이며 아래와 같이 표현 가능하다.

 

식 4

 

식 4를 통해 다시 표현하자면 확률 변수 X가 평균 µ로부터 얼마나 흩어져 있는지에 대한 척도가 되는 것이다.

 

 

이 두 녀석을 섞어보자!

 

잡음을 해석하기 위해선 확률 변수 X는 전압과 전류 잡음이 되겠으며 µ는 어떤 주기신호의 평균인데 주기 신호의 평균은 항상 0이니 식 4의 µ는 0이 될 수 있다.

 

따라서 아래 식으로 표기한다.

 

식 5

 

확률은 음의 값을 나타내지 않으므로 절댓값으로 표현함을 상기하자.

 

그러면 이 잡음이란 녀석의 분산을 식 5로 알 수 있었고 식 1-3 의 과정과 동일하게 반복하게 되면 우리는 잡음에 대한 rms 값을 구할 수 있게 된다.

 

부하저항 R에 랜덤 전류 또는 전압의 잡음이 전력으로 공급이 된다면 위에서 언급한 과정으로 계산을 해보게 되면 아래와 같이 구할 수 있다.

 

식 6

 

식 6을 분류하면 아래와 같다.

 

 

이제 한 층 진도를 더 나아가 전력 스펙트럼 밀도를 알아보도록 한다.

 

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전력 스펙트럼 밀도(Power Spectral Density, PSD)

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이 부분을 다루기 위해서 PSD는 왜 쓰이는가에 대해 먼저 알아야 한다.

회로를 해석하기 위해 전달함수로 표현이 가능하기 때문에 전력 스펙트럼 밀도를 학습 하는 것을 기억하며 이제 알아보도록 한다.

 

전력 스펙트럼 밀도 라고도 불리는 스펙트럼은 각 주파수에서 신호가 갖고 있는 전력을 보여준다.

 

이해하기 쉽게 예를 들어보자

 

사람의 음성 스펙트럼은 20 Hz - 20 kHz의 범위를 이루며 음성 주파수 성분을 측정할 때 사람 음성의 주파수 범위
즉 20 Hz - 20 kHz까지 모든 구성 요소를 관찰해야 함을 의미한다.

그림 1. 1 Hz 단위로 전력 측정

 

(1) 어떤 사람의 음성이 마이크에 입력이 되면 어떤 중심 주파수(fn)을 중심으로 1-Hz 대역폭을 갖는 대역통과필터에 통과후 전력 측정기(Power Meter)는 일정한 값을 읽는다(오랜 시간이 걸림)

 

그림 1에서는 10 kHz의 중심으로 1-Hz의 대역폭을 가지는 대역통과필터를 거치고 나온 이후의 출력을 제곱, 장시간에 걸쳐 평균을 계산하여 Sx(f_10kHz)를 구한 것이다.

 

모든 주파수 성분의 강도를 측정하기 위해 그림 2와 같이 확장할 수 있으며 f1 ... fn을 중심으로 한 1-Hz (음성의 신호인 경우 20 Hz - 20 kHz 까지)의 대역 통과 필터 뱅크를 통해 각 주파수의 평균 전력을 측정한다.

 

그림 2. 대역통과필터 뱅크를 통한 각 스펙트럼 측정

 

 

x(t)의 스펙트럼 혹은 전력 스펙트럼 밀도(PSD)라 불리고 Sx(f)라고 표시되는 잡음이 서로 다른 주파수의 1-Hz 대역폭에서의 어느 정도의 평균 전력을 가지고 있는가를 보여주는 것이다.

 

Sx(f)의 전체 면적은 모든 주파수에서 신호(또는 잡음)에 의해 운반되는 전력을 나타내며 전체 전력이다.

이는 식 7로 표현 할 수있다.

 

식 7

 

식 7에서 Sx(f)를 PSD로 표현하고 이를 (잡음의 전력)/대역폭 주파수의 꼴로 표현 가능하다.

 

식 8

 

다음 포스팅에서는 이에 대한 예제를 풀면서 이해도를 높여가보도록 하자

 

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