교차-결합 발진기 (Cross-Coupled Oscillator)

국문 번역에서 많은 해석이 존재하다
LC-동조 증폭기, 상호 결합 발진기 등등

교차 결합 발진기를 해석하기 위해 먼저 아래 그림 1을 고려해보자

 

그림 1. LC Tank 부하를 가진 CS-Amp

 

그림 1에서 얻는 전달 함수는 아래와 같이 얻어진다.

 

식 1

 

2022.04.05 - [회로 관련 전공/회로 과정 통합 글] - 병렬 LC 탱크(Parallel LC Tank)와 손실 탱크(Lossy Tank)

병렬 LC 탱크(Parallel LC Tank)와 손실 탱크(Lossy Tank)

 

위 링크에서 Z2(s)에 대해 알았음으로 s=jw를 대입하면 식 1은 아래와 같이 변경된다.

 

식 2

 

 

각 주파수 (ω) 변화에 따라 전달함수와 위상에 대해 도시화 하기 위해서 하나하나씩 보도록하자

 

 낮은 주파수 또는 공진 주파수 또는 높은 주파수

 

- 아주 낮은 주파수

 

아주 낮은 주파수에서는 인덕터 (L1)가 부하를 결정한다 이는 아래와 같이 표현 할 수 있다.

 

식 3

 

식 3은 낮은 이득을 가지며 CS Amp의 구조이기 때문에 ∠(vout/vin) = -90° 를 가지는 것을 알 수 있다.

 

- 공진 주파수 (ω1)

 

위 링크에서 알 수 있듯이 ω1에 가까워질 수록 이득은 높아지고 탱크(Tank)는 Rp로 나오게 된다.

 

식 4

 

식 4를 통해 위상은 - 180° 가 됨을 알 수 있다. (LC Tank에서 공진 주파수의 위상 천이를 생각하면 된다.)

 

- 높은 주파수

 

높은 주파수에서는 커패시터가 부하가 되며 이에 대한 이득은 아래와 같다.

 

식 5

 

위상은 ∠(vout/vin) = -270°임을 알 수 있다. 

 

그림 2. LC Tank 부하를 가지는 CS 증폭기의 크기(Mag)와 위상(Phase)

 

그림 2를 통해 CS 증폭기를 단일로만 사용할 때는 위상의 변화 (위상 천이)가 -270° 인걸 알 수 있는데 이는 회로가 발진할 수 없음을 알려준다.

 

왜 그럴까?

 

아래 출력을 되먹임한 회로를 고려해보자 

 

그림 3. 그림 1의 출력을 입력으로 되먹임한 회로

 

(이해한 대로 쓰는 것이기 때문에 틀릴 수 있음을 알려드립니다.)

 

발진할 수 없는 첫번째 근거

그림 3은 어떤 신호를 계속 키우다가 어느 순간 문턱전압보다 낮아지게 된다. 그러면 LC 탱크만 남게 되고 더 이상 회로는 발진하지 않기 때문이다. 따라서 360° 의 위상 변화를 가질 수 있게 CS 단을 추가해주면 된다.

 

발진할 수 없는 두번째 근거

 

위상의 편이가 360°가 아니라 180° 이기 때문에 할 수 없다.

아래 링크를 참고하게 되면

 

2022.01.19 - [회로 관련 전공/회로 과정 통합 글] - 피드백 회로의 불안정성 문제와 바크하우젠 조건을 알아보자

피드백 회로의 불안정성 문제와 바크하우젠 조건을 알아보자

 

그림 4. 링크에서 언급한 발진의 구성

 

180도로 위상 천이를 가진 피드백 구조는 피드백 네트워크(K)로 인가되고 이는 기존 입력과 뺄셈입력이 되고 (3)의 신호는 (1) 신호와 더해지는 구조로 입력이 되고 더 큰 입력신호가 다시 증폭기에 입력이 되는 형식이다.

 

그림 3같은 경우는 뺄셈 입력이 없고 단순히 180도의 위상 천이만 가지기 때문에 발진을 하지 않게 됨을 알 수 있다. 또한 탱크회로의 주파수 변화에 따른 위상의 변화는 (잡음과 같은 사유로) 180도에 이르지 않게 된다.

 

발진을 시켜주기 위해서는 직렬연결(Cascaded)된 CS Amp로 구성해야한다.

 

그림 5. 교차 결합 발진기 구조

 

 

그림 5의 교차 결합 발진기는 지난 차동증폭기에서 배웠듯이 바이어스 전류의 정의를 하기 어렵다. 따라서 테일 전류원을 달아줌으로써 보다 안정적인 동작을 가진다 이는 아래와 같다.

 

그림 6. 테일 전류원을 연결한 교차 결합 발진기

 

1) Frequency-Domain에서의 해석

 

1-1) 발진 주파수의 계산

 

노드 X, Y에서 M1과 M2에 존재하는 기생 커패시턴스(다음 stage에 가지는 cap성분 인덕터의 기생 cap)와 인덕터 Lp로 발진 주파수를 계산할 수 있다.

**  버렉터와 같은 추가적인 커패시터 추가될 수 있다. 

 

식 6

 

식 6은 노드 x에서 계산된 발진 주파수임을 알 수 있고 CGD는 서로 병렬 연결이 되며, 노드 X,Y가 차동적으로 움직이기 때문에 V_XY는 두배와 같기 때문임을 알 수 있다.

 

1-2) 발진 조건

 

발진을 하기 위해서는 루프이득은 아래와 같은 조건을 만족해야 한다.

 

식 7

 

그림 6에 대해서 open-loop 전압 이득과 위상에 대해서는 아래와 같다.

 

그림 7. loop-gain 특성

 

2) Time-Domain에서의 해석

 

Time-Domain해석은 해당 구조가 공진 주파수에 있다고 가정할 때이다.

 

그림 8. 교차 결합 발진기구조에서 시간변화에 따른 출력 전압(x, y)과 드레인 전류의 변화

 

그림 8에서 출력 전압은 Vx=Vy=VDD 이다. (근사해서) 왜냐하면 Rs는 낮은 저항을 가지기 때문에 드레인 전류에 의한 전압강하는 매우 낮은 전압강하를 가지고 이는 VDD와 비슷한 DC레벨을 가지고 있음을 알 수 있다.

(그와 반대로 Rp는 높은 저항값을 가진다.)

 

여기서 CS-Amp를 설계해본 사람이였다면 당연한 의문을 가지게 된다.

 

전압 스윙은 VDD를 넘어가게 되면 출력이 잘려서 나올텐데.. 라는 의문점을 가지게 될텐데 이는 LC 탱크가 충전과 방전을 함으로써 VDD보다 더 높은 전압을 만들어 줄 수 있음을 확인하고 넘어가야한다. (이전 글 참고)

 

Vxy에서 가지는 최대 차동 출력 스윙은 아래와 같다.

 

식 8

 

3) 소신호 해석

 

2022.05.05 - [회로 관련 전공/회로 과정 통합 글] - 음의 저항(Negative Resistance)과 1-단자 관점에서의 발진기

음의 저항(Negative Resistance)과 1-단자 관점에서의 발진기

 

교차 결합 발진기는 1단자 관점에서 해석이 가능하다.

그림 9는 지난 차동 증폭기 파트에서 해석했음을 알 수 있다.

 

그림 9. 등가적으로 표현 가능한 교차 결합 발진기

 

위에서 언급된 1단자 관점에서 1/gm=-Rp를 만들어 주어 공진 주파수에서 무한대의 임피던스를 만들어줘야 함을 기억할 수있다.

 

그림 9에선 2/gm=-2Rp 로 만들어 주어야 한다. 유도과정은 아래와 같이 된다.

 

그림 10. 소신호 등가회로

 

KVL을 통해 V1-V2=Vx임을 알 수 있고 Test 전압원 양 단에 KCL을 적용하여 계산하게 되면 아래와 같다.

 

식 9

 

 

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발진기, VCO와 PLL에 대한 통합 내용은

2022.03.08 - [회로 관련 전공/VCO(전압 제어 발진기)] - 전압 제어 발진기(VCO)에 대한 이론 정리

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아래 링크를 통해 다음 진도와 전자회로 2의 모든 내용을 확인하실 수 있습니다.

2022.01.12 - [전공(Major)/전자회로 2 과정] - 전자회로 2 커리큘럼

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